Infrações gravíssimas
• Dirigir embriagado.
• Não prestar socorro a vítimas de acidentes, alterar o local do acidente ou se negar a fornecer informações para o boletim de ocorrência policial.
• Participar de racha ou pega.
• Ser flagrado ao volante depois de punido com a suspensão do direito de dirigir.
• Dirigir em acostamento, calçadas, gramados, canteiros centrais e marcas de canalização.
• Nas rodovias, estar mais do que 20% acima da velocidade permitida. E em vias urbanas, dirigir além de 50% da velocidade máxima admitida.
• Dirigir sem Carteira Nacional de Habilitação (CNH).
• Estar sem lentes corretoras da visão enquanto dirige, não utilizar os aparelhos que auxiliam a audição, próteses ou retirar equipamentos do carro adaptado a deficientes.
• Entregar a direção ao portador de qualquer deficiência.
• Guiar veículo de uma categoria diferente daquele para o qual está habilitado.
• Entregar a direção a motorista embriagado.
• Usar o carro para amedrontar pedestres ou deixar outros motoristas em pânico.
• Avançar sinal vermelho.
• Transitar na contramão em ruas de sentido único.
• Retorno em local proibido.
• Não parar antes de cruzar a linha férrea.
• Guiar veículos sem uma das placas ou sem licenciamento.
• Atravessar barreira policial sem autorização
• Exibições ao volante. Manobras perigosas, com arrancadas e freios bruscos.
• Levar crianças menores de 10 anos nos bancos da frente.
• Não dar passagem a veículos dos serviços de urgência, como os carros da polícia, Corpo de Bombeiros e ambulâncias.
• Ultrapassar pela contramão onde houver linha dupla contínua ou linha simples amarela demarcada na pista.
• Prestar declarações falsas sobre domicílio ao Detran na hora de requerer documentos do carro ou carteira de habilitação.
• Deixar o carro em uma posição tal que bloqueie a passagem de outros veículos na via.
• Motorista flagrado ao volante com carteira de habilitação vencida há mais de 30 dias.
• Não reduzir a velocidade ao passar em frente a escolas, hospitais, estações de embarque e desembarque e locais de intensa movimentação de pedestres.
• Negar a preferência ao pedestre que atravessa na faixa.
• Forçar a passagem entre dois veículos que circulem em sentidos opostos quando eles estão na iminência de iniciar uma manobrar de ultrapassagem.
• Ultrapassar pela direita do veículo de transporte coletivo ou escolar.
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Infrações graves
• O motorista que não está envolvido no acidente recusar-se a prestar socorro às vítimas, quando solicitado por policiais, bombeiros ou agentes do Detran.
• Deixar de sinalizar no momento em que mudar a direção ou a faixa de pista.
• Estacionar nas calçadas, ciclovias, sobre a faixa de pedestre, em canteiros centrais, gramados ou jardins públicos.
• Estacionamento em fila dupla.
• Circular em rodovias até 20% acima da velocidade permitida. Ou exceder em até 50% a velocidade limite das vias públicas.
• Ultrapassar pelo acostamento.
• Ignorar a distância de segurança que deve ser mantida em relação aos carros que seguem ao lado e à frente do veículo.
• Usar a marcha à ré para percorrer distâncias.
• Virar à direita ou à esquerda em locais onde a sinalização indica que estas manobras são proibidas.
• Consertar o carro nas vias públicas. A exceção vai para os casos em que seria impossível remover o veículo.
• Estacionar o carro a uma distância superior a um metro da calçada.
• Largar o veículo estacionado em área onde duas vias se cruzam, de maneira que fiquem prejudicadas a movimentação de pedestres e a circulação de outros automóveis.
• Utilizar viadutos, pontes e túneis como locais de estacionamento.
• Veículos com peso superior a 3,5 toneladas, como carretas e caminhões de carga, estacionados em trechos onde há aclive ou declive sem estar devidamente freados e sem calços de segurança.
• Parar o veículo nas pistas de rolamento das estradas, rodovias, vias de trânsito rápido (vias expressas) e as demais vias dotadas de acostamento.
• Transitar na contramão em vias com duplo sentido de circulação. Exceto nos poucos segundos em que o motorista precisar ultrapassar o carro a sua frente.
• Motoristas de caminhão e veículos pesados de modo geral que desobedecem aos horários e locais de tráfego proibidos pela autoridade de trânsito.
• Aproveitar o espaço aberto no trânsito pelas sirenes dos veículos que prestam socorro e atendimento de urgência para se deslocar com maior facilidade.
• Desobedecer a ordens da autoridade de trânsito ou de seus agentes, os policiais militares e civis e fiscais dos Detrans.
• Não observar, com antecedência, a necessidade de deslocar o veículo mais à esquerda ou à direita, de acordo com o lado para onde se quer seguir.
• Em locais onde não há retorno, manobrar perigosamente para cruzar a pista.
• Fugir para não pagar pedágio.
• Escapar das balanças que pesam os veículos nas rodovias.
• Negar ao pedestre a preferência de passagem quando ele atravessa onde não haja recursos para preservar seu espaço na pista (faixas, semáforos). Ou quando ele passa pela transversal para onde se dirige o automóvel.
• Deixar de dar a preferência de passagem em locais não sinalizados para veículos que seguem em rotatória ou rodovia. Ou negar a preferência ao carro que vier à direita.
• Não reduzir a velocidade na chuva, neblina, cerração e ventos fortes; nas estradas rurais sem limites laterais bem demarcados; nos trechos em curva de pequeno raio.
• À noite, negligenciar da obrigação de sinalizar devidamente a pista e apagar as luzes do veículo que precise ser removido da via por problemas diversos. Ou não sinalizar para alertar sobre automóvel parado no acostamento.
• Quando a carga transportada dos utilitários, por qualquer motivo, se derrama na pista à noite e o motorista não toma providência para sinalizar o local. E até apaga as luzes do veículo.
• Instalar equipamentos de som em volume não autorizado pelo Contran.
• Motorista ou passageiros sem o cinto de segurança.
Infrações médias
• Utilizar fones de ouvido e aparelho celular.
• Atirar objetos pelas janelas do carro.
• Encostar no automóvel que segue ao lado para conversar.
• Aproveitar o carro para jogar água ou detritos nos pedestres e outros veículos.
• Em acidentes sem vítima, o motorista não tomar providência para impedir que seu carro atrapalhe a circulação.
• Estacionar junto ou sobre hidrantes de incêndio, registro de água ou tampas de poços de galerias subterrâneas.
• Usar apenas uma mão para dirigir. Manter o braço do lado de fora da porta.
• Deixar o carro estacionado de modo que impeça a saída de outro veículo.
• Largar o veículo estacionado onde houver sinalização horizontal (demarcada na pista) indicando que o lugar é área de embarque e desembarque de passageiros do transporte coletivo.
• Estacionar no sentido oposto à direção por onde segue o fluxo de carros na via.
• Desobedecer às regras de local e horário de estacionamento expostas nas placas de sinalização.
• Parar o carro a mais de um metro de distância do meio-fio.
• Nas áreas de cruzamento, parar o carro em prejuízo do movimento de pedestres e carros.
• Parar o carro em pontes, viadutos e túneis.
• Parar o carro na contramão da direção para a qual segue o fluxo dos veículos na pista.
• Ignorar as recomendações sobre horário e local contida na placa que indica ''Proibido Parar''.
• Parar o veículo na faixa de pedestre durante a troca do sinal luminoso do semáforo.
• Com o veículo em movimento, deixar de se manter na faixa da pista destinada a ele.
• Para motoristas de carros de passeio e veículos leves de modo geral, dirigir em locais e horários proibidos pela autoridade de trânsito responsável pela área.
• Deixar de dar passagem pela esquerda quando for solicitado.
• Ultrapassar pela direita.
• Deixar de guardar a distância lateral mínima de 1,5 metro ao ultrapassar uma bicicleta.
• Estacionar junto ou sobre hidrantes de incêndio, registro de água ou tampas de poços de galerias subterrâneas.
• Dirigir a menos da metade da velocidade admitida na pista, salvo se as condições meteorológicas e de tráfego oferecerem grande risco de acidente.
• Abandonar na pista galhos, pneus, papelões e qualquer outro material utilizado para sinalizar a via em situações inesperadas, como problemas mecânicos.
• Acionar a luz alta em ruas com iluminação pública.
• Buzinadas prolongadas e sucessivas no período que vai das 22h às 6h.
• Parar com muita distância da calçada. A multa pune desde afastamento de 50 cm até um metro.
• Desatenção no ato de dirigir. Ou negligenciar os cuidados indispensáveis à segurança.
• Usar acostamento como estacionamento, exceto em situação de emergência.
• Em locais com normas de estacionamento expostas em placas de sinalização, parar em desacordo com as regras.
• Parar o carro em faixas destinadas a pedestres e nas ilhas de refúgio para a travessia, como o canteiro central do Eixão.
• Transitar na faixa da direita regulamentada para circulação exclusiva de determinado tipo de veículo, geralmente ônibus urbanos.
• Ultrapassar veículos em cortejo, desfile e formações militares.
• Não atualizar o cadastro de registro do veículo ou da habilitação do condutor
Recurso de Multa
Todo motorista tem o direito de contestar legalmente as multas sempre que discordar da punição aplicada ou considerá-la "injusta", seja ela atribuídas por fiscais, policiais ou radares eletrônicos (câmeras fotográficas). Além de livrar o motorista do pagamento da infração, o recurso -- quando aceito -- evita o acúmulo de pontos negativos na carteira de habilitação.
O recurso também é cabível em situações de emergência, como enchentes, catástrofes, socorro médico ou transporte de mulheres grávidas em trabalho de parto para a maternidade. Entretanto, todos esss argumentos não significam que o recurso será acatado pelas autoridades de trânsito. Na realidade, em geral, são raras as vezes em que o motorista ganha uma apelação.
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domingo, 1 de agosto de 2010
matemática PA e PG
22
JUN
Exercícios Resolvidos #2 – PA e PG
Publicado por Newton de Góes Horta
Com este artigo, a Parte III, estamos concluindo o tema Progressões. As Partes I e II se referem à teoria sobre Sequência e PA e PG, respectivamente, que podem ser consultadas, caso seja necessário, para um melhor entendimento das soluções dos exercícios a seguir.
Os sete primeiros exercícios foram extraídos do sítio Vestibulando Web e suas respostas estão indicadas em negrito. Na mesma página você encontra outros exercícios interessantes, não resolvidos aqui e nem lá, para que você teste seus conhecimentos.
Exercício 1: (FUVEST/01) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
Solução:
Sejam (a1, a2, a3, …) a PA de razão r e (g1, g2, g3, …) a PG de razão q. Temos como condições iniciais:
(1) a1 = g1 = 4
(2) a3 > 0, g3 > 0 e a3 = g3
(3) a2 = g2 + 2
Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações:
(4) a3 = a1 + 2r e g3 = g1.q2 => 4 + 2r = 4q2
(5) a2 = a1 + r e g2 = g1.q => 4 + r = 4q + 2
Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em (4) vem:
(5) => r = 4q + 2 – 4 => r = 4q – 2
(4) => 4 + 2(4q – 2) = 4q2 => 4 + 8q – 4 = 4q2 => 4q2 – 8q = 0
=> q(4q – 8) = 0 => q = 0 ou 4q – 8 = 0 => q = 2
Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na equação (5):
r = 4q – 2 => r = 8 – 2 = 6
Para concluir calculamos a3 e g3:
a3 = a1 + 2r => a3 = 4 + 12 = 16
g3 = g1.q2 => g3 = 4.4 = 16
Exercício 2: (ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:
a) [– 2, –1]
b) [– 1, 0]
c) [0, 1]
d) [1, 2]
e) [2, 3]
Solução:
Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação da definição de PA):
(1) -5n = 2 + 3n + r
(2) 1 – 4n = -5n + r
Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):
(1) => r = -5n – 2 – 3n = -8n – 2
(2) => 1 – 4n = -5n – 8n – 2 => 1 – 4n = -13n – 2
=> 13n – 4n = -2 – 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3
Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b).
Exercício 3: (PUC-SP/2003) Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa seqüência, então a30 + a55 é igual a:
a) 58
b) 59
c) 60
d) 61
e) 62
Solução:
Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 – (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 – (8; 9; 10; 11; …) . Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato:
(1) ai = a1 + (i – 1).1 = a1 + i – 1
Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está intrinsicamente relacionada às duas progressões da seguinte forma:
Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i – 1, ou seja, i = (n + 1)/2;
se n é par temos n = 2i ou i = n/2.
Daqui e de (1) obtemos que:
an = 10 + [(n + 1)/2] – 1 se n é ímpar
an = 8 + (n/2) – 1 se n é par
Logo:
a30 = 8 + (30/2) – 1 = 8 + 15 – 1 = 22
e
a55 = 10 + [(55 + 1)/2] – 1 = 37
E portanto:
a30 + a55 = 22 + 37 = 59
Exercício 4: (UFSCAR/2000) A condição para que três números a, b e c estejam, simultaneamente, em progressão aritmética e em progressão geométrica é que:
a) ac = b2
b) a + c = 2
c) a + c = b2
d) a = b = c
e) ac = 2b
Solução:
A condição para que a, b e c sejam ao mesmo tempo uma PA de razão r e uma PG de razão q é:
(1) b = a + r = aq => r = a(q – 1)
(2) c = b + r = bq => r = b(q – 1)
De (1) e (2) vem:
a(q – 1) = b(q – 1) => (a – b)(q – 1) = 0
Para que o produto seja igual a zero:
ou a – b = 0 ou q – 1 = 0 ou ambas => ou a = b ou q = 1 ou ambas
Como se trata de uma PG se a é igual a b, necessariamente q = 1. A recíproca também é verdadeira, isto é, se q = 1 então a = b. Logo a = b e q = 1. Daqui, de (1) e de (2) segue que r = 0 e b = c = a.
Exercício 5: (UFLA/99) A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é:
a) 3,1
b) 3,9
c) 3,99
d) 3,999
e) 4
Solução:
Sejam S a soma dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009; …) de razão q = 10-1 = 0,1. Assim:
S = 3 + S1
Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1:
S1 = 0,9/(1 – 0,1) = 0,9/0,9 = 1 => S = 3 + 1 = 4
Exercício 6: (STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale:
a) 3,0
b) 1,0
c) 1,5
d) -1,5
e) -3,0
Solução:
Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA:
S20 = 20( a1 + a20)/2 = -15
Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equidistantes dos extremos, uma vez que:
15 + 6 = 20 + 1 = 21
E, portanto:
a6 + a15 = a1 + a20
Substituindo este valor na primeira igualdade vem:
20(a6 + a15)/2 = -15 => 10(a6 + a15) = -15
=> a6 + a15 = -15/10 = -1,5
Exercício 7: (MACK) O sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e -24, tomados nessa ordem, é:
a) -48
b) -96
c) 48
d) 96
e) 192
Solução:
Para determinar os dois meios geométricos da PG cujos extremos são 3 e -24 precisamos calcular, primeiro, sua razão q, com n = 4. Pela fórmula do termo geral temos que:
a4 = a1.q4-1 => -24 = 3q3 => q3 = -24/3 = -8 => q = -2
Logo a PG é (3; -6; 12; -24; …) e seu sexto termo é obtido, também, através da fórmula do termo geral:
a6 = a1q6-1 => a6 = 3(-2)5 = -3.32 = -96
Os exercícios 8 e 9 a seguir foram propostos pelo leitor Watson Meyer, no comentário 17 do artigo sobre Potenciação.
Exercício 8: Sendo Sn a soma dos termos de uma PA de razão 4, em que a1 = 6, determine n tal que Sn é igual a 1456.
Solução:
Sabemos que:
(1) Sn = (a1 + an)n/2 = (6 + an)n/2 = 1456 => (6 + an)n = 2912
Para determinar n basta expressarmos an em função de n, o que é feito através da fórmula do termo geral de uma PA:
(2) an = 6 + (n – 1).4 = 6 + 4n – 4 = 4n + 2
Substituindo (2) em (1):
(6 + 4n + 2)n = 2912 => 4n2 + 8n – 2912 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau obtemos:
n1 = 26 e n2 = -28
Como n > 0, a resposta é 26.
Exercício 9: A soma dos infinitos termos da P.G (x/2; x2/4; x3/8; …) é igual a 1/10. Qual o valor de x?
Solução:
Note que, pela lei de formação da PG, a razão é q = x/2. Como uma PG infinita converge somente se -1 < q < 1, o valor de x deve ser tal que esta condição seja satisfeita. Aplicando, então, a fórmula da soma vem que:
Para que a solução esteja completa falta verificar se q satisfaz a condição de convergência:
Como -1 < q < 1 a solução está concluída e x = 2/11.
Para finalizar a matéria, vamos resolver o último exercício extraído do livro Matemática para o Ensino Médio de Manoel Jairo Bezerra.
Exercício 10: As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em PA de razão 3. Calcule essas medidas.
Solução:
Sejam a, b e c as medidas dos lados do triângulo, onde a é a hipotenusa, b a base e c o outro lado. Como eles estão em PA, (b; c; a) nesta ordem, de razão 3 vem que:
b = a – 6 e c = a – 3
Por outro lado, do Teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo, temos que:
a2 = b2 + c2 => a2 = (a – 6)2 + (a – 3)2
Resolvendo os produtos notáveis:
a2 = a2 – 12a + 36 + a2 – 6a + 9 = 2a2 – 18a + 45
=> a2 – 18a + 45 = 0 => a = 15 e a = 3
Mas a não pode ser igual 3, uma vez que teríamos c = 0 e b = -3, o que contradiz claramente o fato de serem medidas dos lados de um triângulo retângulo. Logo:
a = 15 => b = 15 – 6 = 9 e c = 15 – 3 = 12
E a PA é:
(9; 12; 15).
JUN
Exercícios Resolvidos #2 – PA e PG
Publicado por Newton de Góes Horta
Com este artigo, a Parte III, estamos concluindo o tema Progressões. As Partes I e II se referem à teoria sobre Sequência e PA e PG, respectivamente, que podem ser consultadas, caso seja necessário, para um melhor entendimento das soluções dos exercícios a seguir.
Os sete primeiros exercícios foram extraídos do sítio Vestibulando Web e suas respostas estão indicadas em negrito. Na mesma página você encontra outros exercícios interessantes, não resolvidos aqui e nem lá, para que você teste seus conhecimentos.
Exercício 1: (FUVEST/01) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
Solução:
Sejam (a1, a2, a3, …) a PA de razão r e (g1, g2, g3, …) a PG de razão q. Temos como condições iniciais:
(1) a1 = g1 = 4
(2) a3 > 0, g3 > 0 e a3 = g3
(3) a2 = g2 + 2
Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações:
(4) a3 = a1 + 2r e g3 = g1.q2 => 4 + 2r = 4q2
(5) a2 = a1 + r e g2 = g1.q => 4 + r = 4q + 2
Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em (4) vem:
(5) => r = 4q + 2 – 4 => r = 4q – 2
(4) => 4 + 2(4q – 2) = 4q2 => 4 + 8q – 4 = 4q2 => 4q2 – 8q = 0
=> q(4q – 8) = 0 => q = 0 ou 4q – 8 = 0 => q = 2
Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na equação (5):
r = 4q – 2 => r = 8 – 2 = 6
Para concluir calculamos a3 e g3:
a3 = a1 + 2r => a3 = 4 + 12 = 16
g3 = g1.q2 => g3 = 4.4 = 16
Exercício 2: (ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:
a) [– 2, –1]
b) [– 1, 0]
c) [0, 1]
d) [1, 2]
e) [2, 3]
Solução:
Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação da definição de PA):
(1) -5n = 2 + 3n + r
(2) 1 – 4n = -5n + r
Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):
(1) => r = -5n – 2 – 3n = -8n – 2
(2) => 1 – 4n = -5n – 8n – 2 => 1 – 4n = -13n – 2
=> 13n – 4n = -2 – 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3
Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b).
Exercício 3: (PUC-SP/2003) Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa seqüência, então a30 + a55 é igual a:
a) 58
b) 59
c) 60
d) 61
e) 62
Solução:
Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 – (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 – (8; 9; 10; 11; …) . Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato:
(1) ai = a1 + (i – 1).1 = a1 + i – 1
Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está intrinsicamente relacionada às duas progressões da seguinte forma:
Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i – 1, ou seja, i = (n + 1)/2;
se n é par temos n = 2i ou i = n/2.
Daqui e de (1) obtemos que:
an = 10 + [(n + 1)/2] – 1 se n é ímpar
an = 8 + (n/2) – 1 se n é par
Logo:
a30 = 8 + (30/2) – 1 = 8 + 15 – 1 = 22
e
a55 = 10 + [(55 + 1)/2] – 1 = 37
E portanto:
a30 + a55 = 22 + 37 = 59
Exercício 4: (UFSCAR/2000) A condição para que três números a, b e c estejam, simultaneamente, em progressão aritmética e em progressão geométrica é que:
a) ac = b2
b) a + c = 2
c) a + c = b2
d) a = b = c
e) ac = 2b
Solução:
A condição para que a, b e c sejam ao mesmo tempo uma PA de razão r e uma PG de razão q é:
(1) b = a + r = aq => r = a(q – 1)
(2) c = b + r = bq => r = b(q – 1)
De (1) e (2) vem:
a(q – 1) = b(q – 1) => (a – b)(q – 1) = 0
Para que o produto seja igual a zero:
ou a – b = 0 ou q – 1 = 0 ou ambas => ou a = b ou q = 1 ou ambas
Como se trata de uma PG se a é igual a b, necessariamente q = 1. A recíproca também é verdadeira, isto é, se q = 1 então a = b. Logo a = b e q = 1. Daqui, de (1) e de (2) segue que r = 0 e b = c = a.
Exercício 5: (UFLA/99) A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é:
a) 3,1
b) 3,9
c) 3,99
d) 3,999
e) 4
Solução:
Sejam S a soma dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009; …) de razão q = 10-1 = 0,1. Assim:
S = 3 + S1
Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1:
S1 = 0,9/(1 – 0,1) = 0,9/0,9 = 1 => S = 3 + 1 = 4
Exercício 6: (STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale:
a) 3,0
b) 1,0
c) 1,5
d) -1,5
e) -3,0
Solução:
Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA:
S20 = 20( a1 + a20)/2 = -15
Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equidistantes dos extremos, uma vez que:
15 + 6 = 20 + 1 = 21
E, portanto:
a6 + a15 = a1 + a20
Substituindo este valor na primeira igualdade vem:
20(a6 + a15)/2 = -15 => 10(a6 + a15) = -15
=> a6 + a15 = -15/10 = -1,5
Exercício 7: (MACK) O sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e -24, tomados nessa ordem, é:
a) -48
b) -96
c) 48
d) 96
e) 192
Solução:
Para determinar os dois meios geométricos da PG cujos extremos são 3 e -24 precisamos calcular, primeiro, sua razão q, com n = 4. Pela fórmula do termo geral temos que:
a4 = a1.q4-1 => -24 = 3q3 => q3 = -24/3 = -8 => q = -2
Logo a PG é (3; -6; 12; -24; …) e seu sexto termo é obtido, também, através da fórmula do termo geral:
a6 = a1q6-1 => a6 = 3(-2)5 = -3.32 = -96
Os exercícios 8 e 9 a seguir foram propostos pelo leitor Watson Meyer, no comentário 17 do artigo sobre Potenciação.
Exercício 8: Sendo Sn a soma dos termos de uma PA de razão 4, em que a1 = 6, determine n tal que Sn é igual a 1456.
Solução:
Sabemos que:
(1) Sn = (a1 + an)n/2 = (6 + an)n/2 = 1456 => (6 + an)n = 2912
Para determinar n basta expressarmos an em função de n, o que é feito através da fórmula do termo geral de uma PA:
(2) an = 6 + (n – 1).4 = 6 + 4n – 4 = 4n + 2
Substituindo (2) em (1):
(6 + 4n + 2)n = 2912 => 4n2 + 8n – 2912 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau obtemos:
n1 = 26 e n2 = -28
Como n > 0, a resposta é 26.
Exercício 9: A soma dos infinitos termos da P.G (x/2; x2/4; x3/8; …) é igual a 1/10. Qual o valor de x?
Solução:
Note que, pela lei de formação da PG, a razão é q = x/2. Como uma PG infinita converge somente se -1 < q < 1, o valor de x deve ser tal que esta condição seja satisfeita. Aplicando, então, a fórmula da soma vem que:
Para que a solução esteja completa falta verificar se q satisfaz a condição de convergência:
Como -1 < q < 1 a solução está concluída e x = 2/11.
Para finalizar a matéria, vamos resolver o último exercício extraído do livro Matemática para o Ensino Médio de Manoel Jairo Bezerra.
Exercício 10: As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em PA de razão 3. Calcule essas medidas.
Solução:
Sejam a, b e c as medidas dos lados do triângulo, onde a é a hipotenusa, b a base e c o outro lado. Como eles estão em PA, (b; c; a) nesta ordem, de razão 3 vem que:
b = a – 6 e c = a – 3
Por outro lado, do Teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo, temos que:
a2 = b2 + c2 => a2 = (a – 6)2 + (a – 3)2
Resolvendo os produtos notáveis:
a2 = a2 – 12a + 36 + a2 – 6a + 9 = 2a2 – 18a + 45
=> a2 – 18a + 45 = 0 => a = 15 e a = 3
Mas a não pode ser igual 3, uma vez que teríamos c = 0 e b = -3, o que contradiz claramente o fato de serem medidas dos lados de um triângulo retângulo. Logo:
a = 15 => b = 15 – 6 = 9 e c = 15 – 3 = 12
E a PA é:
(9; 12; 15).
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